通用產品碼(UPC, Universal Product Code) 為許多種類商品被指定作為條碼的編碼。在商店櫃臺由雷射器掃瞄的黑白條紋係對應到一個長度 12 的十元向量 u=(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11, d)。 其中前 11 個分量即為一個 Z11,10 中的向量，提供了製造商與產品資訊；最後一個 分量 d 為一個檢查數位碼， 其使得 c‧u ＝ 0 (在 Z10 中，兩個向量點積(dot product)為「零」) ，其中的檢查向量 c 為 (3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1)。
意即，在重編後，
